대단해 ...

모닝 대수기하 공부하면서 느낌만 잡은 감동 공유

Sheaf라는 것은 global한 대상만 다루기로 우리가 선언한 대상을 말한다. 그런데 어떤 집합 위에 위상이 여러 개가 주어질 수 있는 것처럼 위상공간 X가 주어졌을 때도 sheaf는 너무나도 명백하게도 다양하게 주어질 수 있다.

그러면 위상공간 X를 고정하고, 그 위의 sheaves B, C를 생각하자. 우리가 수학을 공부해오며 맞으면서 배웠던 질문 습관에 의하면

언제 sheaf B와 sheaf C가 isomorphic할까?

라는 질문을 던져야 한다. 이걸 divide-and-conquer해보면

1. 언제 두 sheaves 사이의 morphism은 injective인가?
2. 언제 두 sheaves 사이의 morphism은 surjective인가?

라는 두개의 질문으로 쪼개진다.

1번은 straightforward하다고 한다. 즉, morphism f:B->C가 injective란 것의 필요충분조건은 morphism of stalks associated with sheaves \hat{f}가 모든 xㅌX에 대해서 \hat{f}:B_x->C_x가 injective란걸로부터 답을 알 수 있다.

하지만 surjectivity는 좀 얘기가 다른데, 일단 우리가 밝힐 수 있는 최선의 조건은 임의의 open U in X에 대해서 모든 section s of C over U, 그리고 모든 xㅌU에 대해서 x의 nbd VㄷU가 존재해서 V|s가 항상 image of some section of B over V가 되어야 한다는 것이다.

그러니까 이제 surjectivity의 문제를 바꾸면 언제 image of some section of B가 되냐는 질문으로 바뀌는 것이다.

여기서 sheaf cohomology가 튀어나오는데, 위키에 따르면 sheaf cohomology가 그 답이 된다고 한다. 무슨 말이냐면
Short exact sequence
0->A->B->C->0 where A=ker f, f:B->C is surjection을 생각해보자.

그러면 sheaf cohomology of groups
0->H0(X,A)->H0(X,B)->H0(X,C)->H1(X,A)->…가 자연스럽게 유도되는데 예를 들어 H1(X,A)가 0이라면 이 exact sequence가 주는 대답은 모든 C의 global section이 B의 global section으로 lift된다고 한다.
근데 이게 실제로 수많은 경우에 계산하기가 불가능하다는게 문제다.

그래서 이걸 "approximate"하는게 Čech cohomology라고 한다. 이게 우리가 대수곡선론에서 체흐 코호몰로지를 배우는 이유라고 하고.

왜 approximate라는 단어를 썼을까? Čech cohomology ^H(X,E)에서 sheaf cohomology H(X,E)로 가는 homomorphism이 언제나 존재한다고 하는데

두개가 isomorphism이면 좋겠지만 그렇지 않은 경우에도 homomorphism이 존재하니 monomorphism, epimorphism정도는 되니까 어느정도 정보 손실을 감수하고 "approximate"를 때려버릴 수 있단 맥락이 되는 것이다.

여기까지가 내가 이해한 것.

Miranda나 오기소 케이지 교수님 책에서 sheaf를 정의하고 왜 sheaf cohomology가 아닌 Čech cohomology를 설명하는지 납득이 잘 안됐는데 위키를 포함한 여러 레퍼런스르 찾으며 내가 내린 답은 이렇다.

아침에 이것저것 찾아보며 공부하다가 너무 감명깊어서 남기는 기록. 정말, 진심으로, 경외감에 압도된다.